Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB và trên cạnh BC lấy điểm M, đặt CM=x. Tính d(C;(SMH))

Đáp án:

$\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + 4{{\left( {a - x} \right)}^2}} }}$

Giải thích các bước giải:

$\Delta SAB$ đều có H là trung điểm của AB nên $SH\bot AB$

$(SAB)\bot(ABCD),(SAB)\cap(ABCD)=AB$

$SH\bot AB\Rightarrow SH\bot(ABCD)$

Kẻ $CK \bot HM$

Và có $CK\bot SH\text{ (do SH vuông góc với đáy)}$.

$\Rightarrow CK \bot(SHM)$

Do đó $d(C,(SHM))=CK$.

Xét tam giác CKM và tam giác HBM đồng dạng (góc - góc)

$(\widehat B=\widehat K=90^o, \widehat{CMK}=\widehat{HMB}$ đối đỉnh$)$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \dfrac{{BH}}{{CK}} = \dfrac{{HM}}{{CM}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{CK}} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {{\left( {a - x} \right)}^2}} }}{x}\\ \Rightarrow CK = \dfrac{{ax}}{2}:\sqrt {\dfrac{{{a^2} + 4{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{4}} = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + 4{{\left( {a - x} \right)}^2}} }} \end{array}$