Cho hình tứ giác ABCD . CMR : điều kiện cần và đủ để AC ⊥ BD là

Ta có:

`\qquad  AB^2+CD^2=BC^2+DA^2`

`<=>\vec{AB^2}+\vec{CD}^2=\vec{BC}^2+\vec{DA}^2`

`<=>\vec{AB^2}-\vec{BC}^2+(\vec{CD}^2-\vec{DA}^2)=0`

`<=>(\vec{AB}-\vec{BC}).(\vec{AB}+\vec{BC})+(\vec{CD}-\vec{DA})(\vec{CD}+\vec{DA})=0`

`<=>(\vec{AB}-\vec{BC}). \vec{AC}+(\vec{CD}-\vec{DA}).\vec{CA}=0`

`<=>(\vec{AB}-\vec{BC}). \vec{AC}-(\vec{CD}-\vec{DA}).\vec{AC}=0`

`<=>\vec{AC}.(\vec{AB}-\vec{BC}-\vec{CD}+\vec {DA})=0`

`<=>\vec{AC}.[\vec{DA}+\vec{AB}-(\vec{BC}+\vec{CD})]=0`

`<=>\vec{AC}.(\vec{DB}-\vec{BD})=0`

`<=>\vec{AC}.(\vec{DB}+\vec{DB})=0`

`<=>\vec{AC}.2\vec{DB}=0`

`<=>\vec{AC}.\vec{DB}=0`

`<=>\vec{AC}`$\perp$`\vec{DB}` (hai vecto vuông góc có tích vô hướng bằng `0`)

`<=>AC`$\perp BD$

Vậy điều kiện cần và đủ để $AC\perp BD$ là:

`AB^2+CD^2=BC^2+DA^2`