Cho hình thang vuông ABCD với AB=2a, các cạnh đáy AD=a và BC=3a. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho vectoAM = k vectoAC. Tìm k để BM vuông góc CD

Đáp án:

\[k = \dfrac{1}{4}\]

Giải thích các bước giải:

\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \\
 = k\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) - \overrightarrow {AB}  = \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC} \\
\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} \\
 = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} \\
 \Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD}  = \left[ {\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC} } \right]\left( { - \overrightarrow {AB}  - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right)\\
 = \left( {1 - k} \right)A{B^2} - \dfrac{k}{3}B{C^2}\\
 = \left( {1 - k} \right){a^2} - \dfrac{k}{3}.9{a^2}\\
 = \left( {1 - k} \right){a^2} - 3k{a^2}\\
 = \left( {1 - 4k} \right){a^2}\\
BM \bot CD \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD}  = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {1 - 4k} \right){a^2} = 0 \Leftrightarrow 1 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{4}
\end{array}\]