Cho hình thang ABCD ,M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD ,K là giao điểm BM và AC a, Chứng minh IK //AB b, Đường thẳng IK cắt AD ,BC theo lần lượt E,F. Chứng minh EI = IK = KF

`a)`

Xét `\triangle MID` và `\triangle ABI`:

`\hat{I_1} = \hat{I_2}`

`\hat{D_1} = \hat{B_1}`

`=> \triangle MID` $\backsim$ `\triangle ABI (g.g)`

`=> (IM)/(AI) = (MD)/(AB) (1)`

Xét `\triangle MCK` và `\triangle KBA`:

`\hat{C_1} = \hat{A_1}`

`\hat{K_1} = \hat{K_2}`

`=> \triangle KMC` $\backsim$ `\triangle KBA (g.g)`

`=> (KM)/(BK) = (CM)/(AB) (2)`

`(1)(2) => DM=CM`

`=> (MI)/(AI) = (MK)/(BK)`

`=>`$KI//AB$

`b)`

$KI//AB//CD$

`=>`$DE//DM$ nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào `\triangle ADM`:

`(AI)/(AM) = (EI)/(DM) (3)`

$KF//MC$ nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào `\triangle BCM`:

`(BK)/(BM) = (KF)/(MC) (4)`

$KI//MC$ nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào `\triangle AMC`:

`(AI)/(MI) = (KI)/(CM) (5)`

$KI//DM$ nên áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét vào `\triangle BDM`:

`(BK)/(BM) = (KI)/(DM) (6)`

`(3)(5) => (EI)/(DM) = (KI)/(CM)`

`(4)(6) => (KF)/(CM) = (KI)/(DM)`

Mà `CM = DM`

`=> (EI)/(DM) = (KF)/(MC) = (KI)/(MC)`

`=> EI = KI = KF`.