Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC. anlpha là góc tạo bởi đường thẳng EM và mặt phẳng (SBD). Tính giá trị tan anlpha. Giải theo cách lớp 11 nha mn, k vẽ trục tọa độ nha, giúp mình vs !

Ta có \(ME \subset \left( {SAM} \right)\) \(\left( {SAM} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SE\) với \(E = BD \cap AM\). Trong (SAM): gọi \(G = ME \cap SF\). \( \Rightarrow ME \cap \left( {SBD} \right) = G\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\). Trong (ABCD) gọi N là trung điểm của OB => MN // OC (MN là đường TB của tam giác OBC) => MN // AC \( \Rightarrow MN \bot \left( {SBD} \right)\). \( \Rightarrow NG\) là hình chiếu của \(MG\) trên (SBD) => \(\widehat {\left( {MG;\left( {SBD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MG;NG} \right)} = \widehat {MGN} = \alpha \). Ta có \(MN \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow MN \bot NG \Rightarrow \Delta MNG\) vuông tại N. ABCD là hình vuông cạnh a \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\). Xét tam giác ABC có F là giao điểm của AM và BO => F là trọng tâm tam giác ABC. Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAF ta có: \(\dfrac{{ES}}{{EA}}.\dfrac{{MA}}{{MF}}.\dfrac{{GF}}{{GS}} = 1 \Leftrightarrow 1.3.\dfrac{{GF}}{{GS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{GF}}{{GS}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{FG}}{{FS}} = \dfrac{1}{4}\). Ta có \(\begin{array}{l}OF = \dfrac{1}{3}OB = \dfrac{2}{3}ON \Rightarrow NF = ON - OF = \dfrac{1}{3}ON\\ \Rightarrow BF = BN + NF = \dfrac{1}{2}ON + \dfrac{5}{6}ON = \dfrac{4}{3}ON\\ \Rightarrow \dfrac{{FN}}{{FB}} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{{FG}}{{FS}} \Rightarrow NG//SB\\ \Rightarrow \dfrac{{FN}}{{FB}} = \dfrac{{NG}}{{SB}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow BG = \dfrac{1}{4}SB = \dfrac{a}{4}\end{array}\) Xét tam giác MNG vuông tại N có : \(\tan \alpha = \dfrac{{MN}}{{NG}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\dfrac{a}{4}}} = \sqrt 2 \).