cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . biết khoảng cách giữa SA và BD bằng căn 21 , tính độ dài cạnh đáy ?

Đáp án:

\(\sqrt {105} \)

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{ & \text{Trong }\left( {SAB} \right)\text{ kẻ }SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \cr & \text{Đặt }AB = a \cr & \text{Dựng hình bình hành }ABDE \cr & \Rightarrow AE//BD \Rightarrow \left( {SAE} \right)//BD \cr & \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SAE} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAE} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) \cr & \text{Trong }\left( {ABCD} \right)\text{ kẻ }HF \bot AE\text{ ta có: }\cr & \left\{ \matrix{ AE \bot HF \hfill \cr AE \bot SH \hfill \cr} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SHF} \right) \cr & \text{Trong }\left( {SHF} \right)\text { kẻ }HK \bot SF \cr & \Rightarrow HK \bot AE \Rightarrow HK \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAE} \right)} \right) = HK = \sqrt {21} \cr & \text{Ta có: }\widehat {FAH} = \widehat {ABD} = {45^0}\, \cr & \Rightarrow \Delta AHF\text{ vuông cân tại }F \cr & \Rightarrow AF = AH = {a \over 2} \cr & \text{ Xét }{\Delta v}SAF:\,\,HK = {{SA.AH} \over {\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = {{a.{a \over 2}} \over {\sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 5 } \over 5} \cr & \Rightarrow {{a\sqrt 5 } \over 5} = \sqrt {21} \Leftrightarrow a = \sqrt {105} \cr & \text { Vậy cạnh đáy bằng }\sqrt {105} \cr} $