Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình bình hành cÓ AB=2a SA=SB=SC=SD=a√5/2.giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp

Giải thích các bước giải:

Kẻ `SO ⊥ (ABCD) (O ∈ ABCD)`

Vì `SA = SB = SC = SD`

`⇒ O` là đường tròn ngoại tiếp `ABCD`

mà `ABCD` là hình bình hành

`⇒ ABCD` là hình chữ nhật

Đặt `BC = x`

`⇒ OA = \frac{1}{2}\sqrt{x^2+4a^2}`

`⇒ SO = \sqrt{\frac{5a^2}{4} - \frac{1}{4}(x^2+4a^2)`

          `= \frac{1}{2}\sqrt{a^2 - x^2}`

`V_{SABCD} = \frac{1}{3}.SO.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.2ax.\frac{1}{2}.\sqrt{a^2-x^2}`

                                                       `=  \frac{1}{3}.ax.\sqrt{a^2-x^2}`

Để thể tích khối chóp max thì `x.\sqrt{a^2-x^2}` max

Đặt `f(x) = x.\sqrt{a^2-x^2}`

`f'(x) = \sqrt{a^2-x^2} +x.\frac{-2x}{2.sqrt{a^2-x^2}` `= \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}`

`f'(x) = 0 ⇔ x= ±\frac{a}{\sqrt{2}} ⇒ x = \frac{a}{\sqrt{2}}` (loại nghiệm âm)

Vậy tại `x = \frac{a}{\sqrt{2}}` thì thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất là:

`V = \frac{1}{3}.a.\frac{a}{\sqrt{2}}.\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^3}{6}`.