Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mp ABC là H trên cạnh BC Sao cho HC=2HB và SA hợp với đấy một góc 60'. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC

Đáp án:

$V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt7}{12}$

Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta ABC$ đều cạnh a dựng AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao

$\Rightarrow AK=\dfrac{a\sqrt3}2$

$BK=\dfrac a2$ và có $\dfrac BH=\dfrac a3$

$\Rightarrow HK=BK-BH=\dfrac a2-\dfrac a3=\dfrac a6$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta AHK\bot K$

$AH^2=AK^2+HK^2=\dfrac{3a^2}4+\dfrac{a^2}{36}=\dfrac{7a^2}9$

$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt7}3$

$\widehat{(SA,(ABC))}=(SA,AH)=\widehat{SAH}=60^o$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SAH\bot H$

$\tan\widehat{SAH}=\dfrac{SH}{AH}$

$\Rightarrow SH=AH.\tan\widehat{SAH}={\dfrac{a\sqrt7}3}\tan60^o=\dfrac{a\sqrt7}{\sqrt3}$

$\Rightarrow V_{SABC}=\dfrac13.SH.S_{ABC}=\dfrac13.\dfrac{a\sqrt7}{\sqrt3}.\dfrac12.a.a.\sin60^o$

$=\dfrac{a^3\sqrt7}{12}$