Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng d cắt AB, BC, BD lần lượt tại M, N, I. Chứng minh rằng: `(BA)/(BM)+(BC)/(BN)=(BD)/(BI)`

Gọi `O` là giao của `AC,BD`

`ABCD` là hình bình hành

`->O` là trung điểm của `AC,BD`

Từ `A` kẻ $AH//d(H\in BD)$

Từ `C` kẻ $CV//d(V\in BD)$

`\triangle AHO` và `\triangle CVO` có :

`hat{HAO}=hat{CVO}` (Do $AH//CV$ vì cùng $//d$)

`AO=CO` (Do `O` là trung điểm của `AC`)

`hat{AOH}=hat{COV}` (Đối đỉnh)

`->\triangle AHO=\triangle CVO` (g.c.g)

`-> OH=OV` (2 cạnh tương ứng)

`\triangle AHB` có : $MI//AH$ 

`-> (BH)/(BI)=(BA)/(BM)` (Talet)

Tương tự : `(BC)/(CN)=(BV)/(BI)`

`-> (BA)/(BM)+(BC)/(BN)=(BH + BV)/(BI)`

`= (BO+OH +BO - OV)/(BI)`

`= (2BO)/(BI)`

`= (BD)/(BI)`(Do `1/2 BD = BO->BD=2BO`)

$\to$đpcm

Lấy $E\in BD$ sao cho $AE//d$

Lấy $F\in BD$ sao cho $CF//d$

Chứng minh được $\Delta AED=\Delta CFB\left( g.c.g \right)$

$\Rightarrow DE=BF$

$\Delta ABE$ có $MI//AE\Rightarrow \dfrac{BA}{BM}=\dfrac{BE}{BI}$

$\Delta BCF$ có $NI//CF\Rightarrow \dfrac{BC}{BN}=\dfrac{BF}{BI}$

$\Rightarrow \dfrac{BA}{BM}+\dfrac{BC}{BN}=\dfrac{BE+BF}{BI}=\dfrac{BE+DE}{BI}=\dfrac{BD}{BI}$