Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm 2 đường chéo. Lấy E thuộc AB, F thuộc CD sao cho: AE=CF. Chứng minh rằng: a, E đối xứng với F Qua O b, Gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE. c/m: I đối xứng với K qua O

a) Xét $\Delta AOE$ và $\Delta COF$ ta có:

$\widehat{EAO}=\widehat{FCO}$ (so le trong)

$AE=CF$ (giả thiết)

$\widehat{AEO}=\widehat{CFO}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta AOE=\Delta COF$ (g.c.g)

$\Rightarrow OE=OF$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$

Suy ra $E$ đối xứng với $F$ qua $O$ (đpcm).

b) Tứ giác $AEFC$ có $AE\parallel =FC$

$\Rightarrow $ tứ giác $AEFFC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AF\parallel EC$ hay $IF\parallel EK$ (1)

$EB=DF(=AB-AE=AC-FC)$

Tứ giác $EBFD$ có $EB\parallel=DF$

$\Rightarrow $ tứ giác $EBFD$ là hình bình hành

$\Rightarrow DE\parallel BF$ hay $IE\parallel FK$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $IEKF$ là hình bình hành

Hình bình hành có tính chất giao của hai đường chéo là trung điểm mỗi đường.

Ta có $O$ là trung điểm của $EF$ (cm ở câu a)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $IK$

$\Rightarrow I$ đối xứng với $K$ qua $O$.