Cho hệ tọa độ `Oxy`, choa `2` điểm `A(-5;5),B(3,1)`. Tìm điểm `M` thuộc trục `Ox` sao cho biểu thức `F = |\vec{MA} + 3\vec{MB}|` đạt giá trị nhỉ nhất

Đáp án:

$M(1;0).$

Giải thích các bước giải:

Chọn điểm $I$ thoả mãn: $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_A-x_I+3( x_B-x_I)=0 \\ y_A-y_I+3( y_B-y_I)=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} -5-x_I+3( 3-x_I)=0 \\ 5-y_I+3( 1-y_I)=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x_I=1 \\ y_I=2\end{array} \right.\\ \Rightarrow I(1;2)$

Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|$

$=\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IB}\right|\\ =\left|4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\right|\\ =\left|4\overrightarrow{MI}\right|\\ =4MI$

$I$ cố định, $M \in Ox \Rightarrow 4MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Ox$

$\Rightarrow M(1;0).$