Cho hệ phương trình x.y+x+y=11 x^2 .y+xy^2=30 có nghiệm là bao nhiêu

Đáp án:

 4 nghiệm.

Giải thích các bước giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\{x^2}y + x{y^2} = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\xy\left( {x + y} \right) = 30\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\,\,\,\left( {{u^2} \ge 4v} \right)\)

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 11\\uv = 30\end{array} \right.\)

Hai số \(u,\,\,v\) là các nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 11t + 30 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 6} \right)\left( {t - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 6 = 0\\t - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 6\\v = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 6\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 6\\v = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 5\end{array} \right. \Rightarrow x,\,\,y\) là các nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}{X^2} - 6X + 5 = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 5X - X + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {X - 5} \right)\left( {X - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X - 5 = 0\\X - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 5\\X = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

+) Với \(\left\{ \begin{array}{l}u = 5\\v = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 6\end{array} \right. \Rightarrow x,\,\,y\) là các nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}{X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow {X^2} - 3X - 2X + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {X - 2} \right)\left( {X - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X - 2 = 0\\X - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 2\\X = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\) 

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.