Cho hệ phương trình sau.Tìm m để A=xy đạt GTNN $\left \{ {{x+y=2m-1} \atop {x^2+y^2=m^2+2m-3}} \right.$

Đáp án: m=1

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{   & {x^2} + {y^2} = {m^2} + 2m - 3  \cr    &  \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy = {m^2} + 2m - 3  \cr    &  \Leftrightarrow {(2m - 1)^2} - 2xy = {m^2} + 2m - 3  \cr    &  \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 - 2xy = {m^2} + 2m - 3  \cr    &  \Leftrightarrow 2xy = 3{m^2} - 6m + 4  \cr    &  \Leftrightarrow xy = \frac{3}{2}{m^2} - 3m + 2  \cr    &  = \frac{3}{2}\left( {{m^2} - 2m + \frac{4}{3}} \right)  \cr    &  = \frac{3}{2}\left[ {{{(m - 1)}^2} + \frac{1}{3}} \right]  \cr    &  = \frac{3}{2}{(m - 1)^2} + \frac{1}{2} \cr} $

Vì $\frac{3}{2}{(m - 1)^2} \geqslant 0\forall m$

=> $\frac{3}{2}{(m - 1)^2} + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}\forall m$

=> $xy \geqslant \frac{1}{2}\forall m$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi m-1=0

<=> m=1