Cho hcn ABCD có AB=2AD=2a, G là trọng tâm tam giác ABC.Tính a) |vectoGA+vectoGB+vecto GC+vectoGD| b) |VectoGA+véctơ GB+2vectoGC+véctơ GD| Giúp mình với ạ?❤️❤️❤️

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

Do đó

$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GD}\vert = \vert \vec{GD} \vert = GD$

GỌi O là giao điểm của BD và AC. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên $BG = \dfrac{2}{3} BO = \dfrac{1}{3} BD$

Vậy $DG = \dfrac{2}{3} BD$

Áp dụng Pytago ta có $BD = a\sqrt{5}$. Vậy $GD = \dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$.

b) Ta có

$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + 2\vec{GC} + \vec{GD}| = \vert \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} + \vec{GC} +  \vec{GD}|$

$= \vert \vec{GC} + \vec{GD} \vert$

Lấy M là trung điểm CD, khi đó

$\vert \vec{GC} + \vec{GD} \vert = \vert 2\vec{GM} \vert = 2GM$.

Hạ $GH \perp CD$. Khi đó tam giác DHG đồng dạng vs tam giác DCB, do đó

$\dfrac{DH}{DC} = \dfrac{HG}{CB} = \dfrac{DG}{DB} = \dfrac{2}{3}$

Vậy $DH = \dfrac{4a}{3}$ và $HG = \dfrac{2a}{3}$

Lại  có $DH = DM + MH$ và $MD = a$, do đó $MH = \dfrac{a}{3}$

Áp dụng Pytago ta có

$GM^2 = GH^2 + HM^2$

Vậy $GM = \dfrac{a\sqrt{5}}{3}$

Do đó

$\vert \vec{GA} + \vec{GB} + 2\vec{GC} + \vec{GD}| = 2GM = \dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$