Cho hàm số y= x^3-(m^2+2)x^2+(5m-1)x-1. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3

y'= 3$x^{2}$ -2($m^{2}$ +2)x+5m-1

y''=6x-2($m^{2}$ +2)

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3

=>$\left \{ {{y'(3)=0} \atop {y''(3)>0}} \right.$ <=>$\left \{ {{y'(3)=0} \atop {y''(3)>0}} \right.$<=>$\left \{ {-6m^{2}+5m+14=0 \atop {14-2m^{2}>0}} \right.$ <=>$\left \{ {{\left [ {{x=2} \atop {x=-\frac{7}{6}}} \right.} \atop {-\sqrt{7}x=$\left [ {{x=2} \atop {x=-\frac{7}{6}}}\right.$

Trong quá trình tính toán có thể có sai sót, mong bạn xem lại

Đáp án:

\(\left[ \matrix{ m = 2 \hfill \cr m = - {7 \over 6} \hfill \cr} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\eqalign{ & y = {x^3} - \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} + \left( {5m - 1} \right)x - 1 \cr & y' = 3{x^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)x + 5m - 1 \cr & y'' = 6x - 2\left( {{m^2} + 2} \right) \cr & Ham\,\,so\,\,dat\,\,cuc\,\,tieu\,\,tai\,\,x = 3 \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ y'\left( 3 \right) = 0 \hfill \cr y''\left( 3 \right) > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 27 - 6\left( {{m^2} + 2} \right) + 5m - 1 = 0 \hfill \cr 18 - 2\left( {{m^2} + 2} \right) > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ - 6{m^2} + 5m + 14 = 0 \hfill \cr {m^2} + 2 < 9 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m = 2 \hfill \cr m = - {7 \over 6} \hfill \cr} \right. \hfill \cr - \sqrt 7 < m < \sqrt 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 2 \hfill \cr m = - {7 \over 6} \hfill \cr} \right. \cr} \)