Cho hàm số y= x^3 -6x^2 +3(m+2)x -m -6. Tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6\\y' = 3{x^2} - 12x + 3\left( {m + 2} \right)\end{array}\) \(\eqalign{ & Cho\,\,y' = 0 \cr & \Delta ' = {6^2} - 9\left( {m + 2} \right) = 18 - 9m \cr} \) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi \(18 - 9m > 0 \Leftrightarrow m < 2\). Ta có \(y = y'\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{2}}{3}} \right) + \left( {2m - 4} \right)x + m +-2\). Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) lần lượt là 2 điểm cực trị của hàm số \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = y'\left( {{x_A}} \right)\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{2}}{3}} \right) + \left( {2m - 4} \right){x_A} + m -2\\{y_B} = y'\left( {{x_B}} \right)\left( {\frac{1}{3}x - \frac{{2}}{3}} \right) + \left( {2m - 4} \right){x_B} + m -2\end{array} \right.\) A, B là 2 điểm cực trị nên \(y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = \left( {2m - 4} \right){x_A} + m - 2\\{y_B} = \left( {m - 4} \right){x_B} + m -2\end{array} \right.\) Vậy pt đường thẳng đi qua 2 cực trị là: \( \Rightarrow AB:\,\,y = \left( {2m - 4} \right)x + m -2\) với \(m<2\).