Cho hàm số y=x^2+1(p).tìm m để (p) cắt đường thẳng (d): ý=2mx-m^2+2mtaij điểm x1x2 sao cho biểu thức t= x1x2+4(x-1+x2) nhỏ nhất

Đáp án:

\(m = \dfrac{1}{2}\)

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 1 = 2mx - {m^2} + 2m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m + 1 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) = 2m - 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\)

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2m + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow T = {x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} - 2m + 1 + 4.2m = {m^2} + 6m + 1\)

\( = {m^2} + 6m + 9 - 8 = {\left( {m + 3} \right)^2} - 8 \ge {\left( {\dfrac{1}{2} + 3} \right)^2} - 8 = \dfrac{{17}}{4}\)

Do đó \({T_{\min }} = \dfrac{{17}}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\)