Cho hàm số y=(m-1)x^2-2x-m+3. Xác định m để: 1. Hàm số nghị biến trên khoảng (-vô cùng;1) 2. y<=0 đúng với mọi x thuộc (1;3)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\eqalign{ & 1. \cr & y' = 2(m - 1)x - 2 \cr} $ Hàm số nghịch biến khi $\eqalign{ & 2(m - 1)x - 2 \le 0\forall x \in ( - \infty ;1) \cr & m \le {{x + 1} \over x}\forall x \in ( - \infty ;1) \cr} $ Đặt $\eqalign{ & {{x + 1} \over x} = t \cr & t' = {{ - 1} \over {{x^2}}} < 0 \cr} $ => hàm nghịch biến $\eqalign{ & m \le t\forall x \in ( - \infty ;1) \cr & m \le {t_{\min }} = {t_{(1)}} = 2 \cr & m \le 2 \cr} $ 2. $\eqalign{ & (m - 1){x^2} - 2x - m + 3 \le 0 \cr & {x^2} + 2x - 3 \le m({x^2} - 1) \cr & m \le {{{x^2} + 2x - 3} \over {{x^2} - 1}} = {{(x - 1)(x + 3)} \over {(x - 1)(x + 1)}} = {{x + 3} \over {x + 1}}(x \ne \pm 1) \cr & y' = {{ - 2} \over {{x^2}}} < 0 \cr} $ => hàm số luôn nghịch biến để $\eqalign{ & y \le 0\forall x \in (1;3) \cr & m \le \forall x \in (1;3) \Rightarrow m \le {t_{\min }} = {t_{(3)}} = 3/2 \cr & m \le 3/2 \cr} $