Cho hai điểm M(1;2), N(-2;1) Tìm tọa độ điểm P trên trục tung sao cho tam giác MPN vuông cân tại P.

Đáp án:

 \(P(0;\,\,0)\)

Giải thích các bước giải:

Ta có: \(P \in Oy \Rightarrow P\left( {0;\,\,a} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PM}  = \left( {1;\,\,2 - a} \right) \Rightarrow P{M^2} = 1 + {\left( {2 - a} \right)^2}\\\overrightarrow {PN}  = \left( { - 2;\,\,1 - a} \right) \Rightarrow P{N^2} = 4 + {\left( {1 - a} \right)^2}\end{array} \right.\)  

\(\Delta MPN\) vuông cân tại \(P \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}PN \bot PM\\PN = PM\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {PN} .\overrightarrow {PM}  = 0\\P{N^2} = P{M^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1.\left( { - 2} \right) + \left( {2 - a} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\\1 + {\left( {2 - a} \right)^2} = 4 + {\left( {1 - a} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 + 2 - 3a + {a^2} = 0\\{a^2} - 4a + 5 = {a^2} - 2a + 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 3a = 0\\2a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 3} \right) = 0\\a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 3\end{array} \right.\\a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0 \Rightarrow P\left( {0;\,\,0} \right)\end{array}\)