Cho góc nhọn a.Tìm max của biểu thức sin a+cos a

Đáp án:

\[{\left( {\sin a + \cos a} \right)_{\max }} = \sqrt 2 \]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
0 < a < 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin a > 0\\
\cos a > 0
\end{array} \right.\\
{\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a\\
 \Leftrightarrow {\sin ^2}a - 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a \ge 0,\,\,\,\forall a\\
 \Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a \ge 2\sin a.\cos a,\,\,\,\forall a\\
 \Leftrightarrow 1 \ge 2\sin a.\cos a,\,\,\,\forall a\\
 \Leftrightarrow \sin a.\cos a \le \dfrac{1}{2},\,\,\,\forall a\\
{\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + 2\sin a.\cos a + {\cos ^2}a\\
 = \left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) + 2.\sin a.\cos a\\
 \le 1 + 2.\dfrac{1}{2} = 2\\
 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le \sin a + \cos a \le \sqrt 2 
\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\sin a = \cos a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow a = 45^\circ \)

Vậy \({\left( {\sin a + \cos a} \right)_{\max }} = \sqrt 2 \)