Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên ngoài đường tròn sao cho OA=2R, kẻ các tiếp tuyến AB AC với đường tròn B C là các tiếp điểm a. Chứng minh 4 điểm A B O C cùng thuộc một đường tròn b. chứng minh 4OH.AH=BC^2(H là giao điểm của BC và OA)

`a)`

Ta có:`hat{OBA}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

           `hat{OCA}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒hat{OBA}+hat{OCA}=90^o +90^o=180^o`

Xét tứ giác `ABOC` có:`hat{OBA}+hat{OCA}=180^o`

Mà `2` góc `hat{OBA}` và `hat{OCA}` nằm ở vị trí đối nhau

`⇒` tứ giác `ABOC` là tứ giác nội tiếp

`⇒4` điểm `A,B,O,C` cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

 `b)`

Ta có:`AB=AC`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒ΔABC` cân tại `A`

Mà `AO` là đường phân giác của `hat{BAC}`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒AO` đồng thời là đường trung tuyến của `ΔABC`

Hay `AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`⇒AH` là đường trung tuyến của `BC`

`⇒H` là trung điểm của `BC`

`⇒BH=(BC)/2`

Vì `ΔABC` cân tại `A` có `AO` là đường phân giác, đường trung tuyến

`⇒AO` đồng thời là đường cao của `ΔABC`

`⇒AO⊥BC`

Mà `H∈BC`

`⇒BH⊥AO`

Ta có:`hat{ABO}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔABO` vuông tại `B`

Xét `ΔABO` vuông tại `B` có `BH` là đường cao ta có:

                         `BH²=OH.AH`(hệ thức lượng)

                     `⇒((BC)/2)^2=OH.AH`

                     `⇒(BC^2)/4=OH.AH`

                     `⇒4OH.AH=BC^2(đpcm)`