Cho đường tròn (O) đường kính BC lấy A thuộc (O) (A khác B,C).Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là BC chứa A, tiếp tuyến Bx với (O) cắt CA tại D. Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O) (E là tiếp tuyến khác B).Gọi I là giao điểm của OD và BE. a) Chứng minh OD vuông góc với BE và DI.DO = DA.DC b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H, EH cắt CD tại G. Chứng minh IG song song với BC

Đáp án:

a) Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp đường tròn(B,D,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBDC vuông tại D(Định lí)

⇔CD⊥BD tại D

⇔CD⊥AB tại D

⇔ˆADC=900ADC^=900

hay ˆADH=900ADH^=900

Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

⇔BE⊥CE tại E

⇔BE⊥AC tại E

⇔ˆAEB=900AEB^=900

hay ˆAEH=900AEH^=900

Xét tứ giác ADHE có 

ˆADHADH^ và ˆAEHAEH^ là hai góc đối

ˆADH+ˆAEH=1800(900+900=1800)ADH^+AEH^=1800(900+900=1800)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACD vuông tại D có 

ˆBAEBAE^ chung

Do đó: ΔABE∼ΔACD(g-g)

⇔ABAC=AEADABAC=AEAD(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay AB⋅AD=AC⋅AEAB⋅AD=AC⋅AE(đpcm)