Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

                                          Giải chi tiết

$a)$ Ta có: $AB = AC$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.

Lại có $AO$ là tia phân giác của $\widehat{A}$ nên $AO ⊥ BC$(trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $AO$ và $BC.$ Suy ra $BI = IC$ (đường kính vuông góc với một dây).

Xét $ΔCBD$ có :

$CI = IB$

$CO = OD$ (bán kính)

$⇒ BD//OI (OI$ là đường trung bình của $ΔBCD).$

Vậy $BD//AO.$

$c)$ Theo định lí Pitago trong tam giác vuông $OAC:$

$AC^2 = OA^2 – OC^2 = 4^2 – 2^2 = 12$

$⇒ AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} (cm)$

Và $Sin\widehat{OAC} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} ⇒ \widehat{OAC} = 30^o$

Do đó $\widehat{BAC} = 2\widehat{OAC} = 60^o$

$ΔABC$ cân, ta có: $\widehat{A} = 60^o$ nên $ΔABC$ là tam giác đều

Do đó $AB = BC = AC = 2\sqrt{3} (cm).$