Cho điểm A(2;-3), B(4;3), C(-2;4). Tính D(x;y) sao cho tam giác ABD vuông căn tại D. Giúp vs ạ !

Đáp án:

\[\left[ \begin{array}{l}
D\left( {0;1} \right)\\
D\left( {\frac{{28}}{5}; - \frac{9}{5}} \right)
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Tam giác ABD vuông cân tại D khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
AD \bot DB\\
AD = DB
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = 0\\
AD = DB
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD} \left( {x - 2;y + 3} \right)\\
\overrightarrow {BD} \left( {x - 4;y - 3} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} \\
BD = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} 
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BD}  = 0\\
AD = DB
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\
\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} 
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + 8 + {y^2} - 9 = 0\\
 - 2x + 4 + 6y + 9 =  - 8x + 16 - 6y + 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + {y^2} = 1\\
6x + 12y = 12
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 6x + {y^2} = 1\\
x + 2y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{28}}{5}\\
y =  - \frac{9}{5}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
D\left( {0;1} \right)\\
D\left( {\frac{{28}}{5}; - \frac{9}{5}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)