cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G 1) CMR: vectoAH=2/3vectoAC-1/3vectoAB và vecto CH=-1/3 ×(vectoAB+vectoAC)? 2) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh vectoMH=1/6vectoAC-1/5vectoAB?

Đáp án:

Giải thích các bước giải: 1,gọi I là trung điểm của AC AH=AB+BH=AB+2BG=AB+4/3BI=AB+2/3(BA+BC)=1/3AB+2/3BC

=1/3AB+2/3(BA+AC)=-1/3AB+2/3AC

CH=CA+AH=CA-1/3AB+2/3AC=-1/3AC-1/3AB

2,MH=MB+BH=1/2CB+2/3(BA+BC)=1/6BC-2/3AB=1/6(BA+AC)-2/3AB=-5/6AB+1/6AC

Giải thích các bước giải:

$\begin{split}1.\vec{AH}&=\vec{AB}+\vec{BH}\\&=\vec{AB}+\dfrac{4}{3}\vec{BE}\\&=\vec{AB}+\dfrac{4}{3}(\vec{BA}+\vec{AE})\\&=\vec{AB}+\dfrac{4}{3}(-\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC})\\&=\dfrac{2}{3}\vec{AC}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}\end{split}$ 

$\begin{split}\vec{CH}&=\vec{CA}+\vec{AH}\\&=-\vec{AC}+\dfrac{2}{3}\vec{AC}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}\\&=-\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})\end{split}$

$\begin{split}2.\vec{MH}&=\vec{MC}+\vec{CH}\\&=\dfrac{1}{2}\vec{BC}-\dfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC})\\&=\dfrac{1}{2}(\vec{BA}+\vec{AC})-\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\&=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\&=\dfrac{1}{6}\vec{AC}-\dfrac{5}{6}\vec{AB}\end{split}$