Cho các số dương `x;y;z;t`. Chứng minh: `x/(y+z+t) + y/(z+t+x) + z/(t+x+y) + t/(x+y+z) + (y+z+t)/x + (z+t+x)/y + (t+x+y)/z + (x+y+z)/t >= 40/3`

Đáp án + giải thích các bước giải:

Điều kiện là số dương nên sẽ dùng cô si, dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=t`

Ta sẽ Cô si để loại bỏ những mẫu số phức tạp, nên sẽ chọn Cô si cặp `x/(y+z+t)` và `k (y+z+t)/x` với `k` là hệ số giả định. (Thường thì tự khắc những phân thức kia sẽ đánh giá dễ, đa số là có điều kiện đi kèm nhưng bài này thì ta sẽ lại dùng Cô si, ta sẽ nói ở phần sau) 

Dấu bằng xảy ra khi `x/(y+z+t)=k (y+z+t)/x `

Vì `x=y=z->1/3=k.3->k=1/9`

Áp dụng vào bài:

`x/(y+z+t)+1/9 (y+z+t)/x>=2/3`

`y/(z+t+x) +1/9 (z+t+x)/y>=2/3`

`z/(t+x+y)+1/9 (t+x+y)/z>=2/3`

`t/(x+y+z)+1/9 (x+y+z)/t>=2/3`

`->x/(y+z+t)+y/(z+t+x)+z/(t+x+y)+t/(x+y+z)+1/9 ( (y+z+t)/x+(z+t+x)/y+(t+x+y)/z+(x+y+z)/t )>=8/3`

`->x/(y+z+t)+y/(z+t+x)+z/(t+x+y)+t/(x+y+z)+ (y+z+t)/x+(z+t+x)/y+(t+x+y)/z+(x+y+z)/t >=8/3+8/9 ((y+z+t)/x+(z+t+x)/y+(t+x+y)/z+(x+y+z)/t)`

mà `(y+z+t)/x+(z+t+x)/y+(t+x+y)/z+(x+y+z)/t`

`=y/x+x/y+z/x+x/z+t/x+x/t+z/y+y/z+t/y+y/t+t/z+z/t`

`>=2+2+2+2+2+2=12`

`->8/3+8/9 ((y+z+t)/x+(z+t+x)/y+(t+x+y)/z+(x+y+z)/t)>=8/3+8/9 . 12=40/3`

Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=t`

Theo BĐT Cô-si có:

$\dfrac{x}{y+z+t}+\dfrac{y+z+t}{9x}>=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{y}{z+t+x}+\dfrac{z+t+x}{9y}>=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{z}{t+x+y}+\dfrac{t+x+y}{9z}>=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{t}{x+y+z}+\dfrac{x+y+z}{9t}>=\dfrac{2}{3}$

$=> \dfrac{x}{y+z+t}+\dfrac{y}{z+t+x}+\dfrac{z}{t+x+y}+\dfrac{t}{x+y+z}+\dfrac{1}{9}(\dfrac{y+z+t}{x}+\dfrac{z+t+x}{y}+\dfrac{t+x+y}{z}+\dfrac{x+y+z}{t})>= \dfrac{8}{3}$

Xét: $\dfrac{8}{9}(\dfrac{y+z+t}{x}+\dfrac{z+t+x}{y}+\dfrac{t+x+y}{z}+\dfrac{x+y+z}{t})$

$=\dfrac{8}{9}(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{t}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{t}+\dfrac{z}{t})$

$>=\dfrac{8}{9}(2+2+2+2+2+2)$

$>=\dfrac{32}{3}$

$=> \dfrac{x}{y+z+t}+\dfrac{y}{z+t+x}+\dfrac{z}{t+x+y}+\dfrac{t}{x+y+z}+\dfrac{y+z+t}{x}+\dfrac{z+t+x}{y}+\dfrac{t+x+y}{z}+\dfrac{x+y+z}{t}>=\dfrac{32}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{40}{3}$

Dấu "$=$" xảy ra khi $x=y=z=t$