Cho biểu thức $Q=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}$ a) Tìm x để biểu thức Q có nghĩa b ) Rút gọn Q c) So sánh Q với 1

Đáp án:

`a)` `x>0;x\ne 1`

`b)` `Q={\sqrt{x}-1}/\sqrt{x}`

`c)`  `Q<1`

Giải thích các bước giải:

`Q=(1/{x-\sqrt{x}}+1/{\sqrt{x}-1}):{\sqrt{x}+1}/{x-2\sqrt{x}+1}`

`a)` `ĐKXĐ:`

$\quad \begin{cases}x\ge 0\\x-\sqrt{x}\ne 0\\\sqrt{x}-1\ne 0\\\\\sqrt{x}+1\ne 0\\x-2\sqrt{x}+1\ne 0\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x\ge 0\\\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\ne 0\\\sqrt{x}\ne 1\\(\sqrt{x}-1)^2\ne 0\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}x\ge 0\\x\ne 0\\x\ne 1\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x>0\\x\ne 1\end{cases}$

Vậy `Q` có nghĩa khi `x>0;x\ne 1`

$\\$

`b)` `Q=(1/{x-\sqrt{x}}+1/{\sqrt{x}-1}):{\sqrt{x}+1}/{x-2\sqrt{x}+1}`

`=(1/{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\sqrt{x}/{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}):{\sqrt{x}+1}/{(\sqrt{x}-1)^2}`

`={1+\sqrt{x}}/{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} . {(\sqrt{x}-1)^2}/{\sqrt{x}+1}`

`={\sqrt{x}-1}/\sqrt{x}`

Vậy `Q={\sqrt{x}-1}/\sqrt{x}`

$\\$

`c)` Ta có:

`\qquad Q-1={\sqrt{x}-1}/\sqrt{x}-1`

`={\sqrt{x}-1}/\sqrt{x}-\sqrt{x}/\sqrt{x}`

`={\sqrt{x}-1-\sqrt{x}}/\sqrt{x}={-1}/\sqrt{x}`

Với mọi `x>0;x\ne 1` ta có `\sqrt{x}>0`

`=>1/\sqrt{x}>0`

`=>{-1}/\sqrt{x}<0`

`=>Q-1<0`

`=>Q<1`

Vậy `Q<1`