Cho `a,b,c` thoả mãn `a^2+b^2+c^2=2.` Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức: `M=a+b+c-abc.`

Áp dụng BĐT Cô-si có:

$b^2+c^2>=2\sqrt{b^2 . c^2}=2bc$

$a^2>=0$

$=>a^2+b^2+c^2>= 2bc+0=2bc$

$=>1>= bc$

$=>1-bc>=0$

$M=a+b+c-abc$

$=a(1-bc)+(b+c)$

$=>M^2 = [a(1-bc)+(b+c)]^2$

$=[a(1-bc)+(b+c).1]^2$
Áp dụng BĐT Bunhia ta được:

$M^2=< (a^2+(b+c)^2)((1-bc)^2+1^2)$

$=< (a^2+2bc+b^2+c^2)(1-2bc+b^2c^2+1)$

$=< (2+2bc)(2-2bc+b^2c^2)$

$=< 4 - 4bc+2b^2c^2+4bc - 4b^2c^2 + 2b^3c^3$

$=< 4 - 2b^2c^2(1-bc)$

$=<4$ (Do $b^2c^2>= 0,1-bc>=0$)

$=> M^2=< 4$

$=> -2=< M=< 2$

$-2=< M$

$=>M_{min}=-2$

Dấu "$=$" xảy ra khi : $b=c, a=0$

Khi đó : $-2=b+c, b^2+c^2=2$

$<=>b=c=-1$

$<=>(a;b;c)=(0;-1;-1)$ và các hoán vị

$M=< 2$

$=>M_{max}=2$

Dấu "$=$" xảy ra khi : $b=c, a=0$

Khi đó : $2=b+c, b^2+c^2=2$

$<=>b=c=1$

$<=> (a;b;c)=(0;1;1)$ và các hoán vị