Cho `a; b; c` là các số thực không âm thỏa mãn `: ab + bc + ca = 3` và `a ≥ c`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : `P = 1/(a + 1)^2 + 2/(b + 1)^2 + 3/(c + 1)^2`

Đáp án và giải thích các bước giải 

$m^{2}$+$n^{2}$ +$p^{2}$ $\geq$ mn +np +pm (1) : ( m+n+p)²$\geq$ 3 ( mn + np + pm ) (2)

Đặt X  = $\frac{1}{a+1}$ ; Y = $\frac{1}{b+1}$ : Z = $\frac{1}{c+1 }$ ( X , Y , Z ) 

VÌ a $\geq$ c ⇒ z $\geq$ X nên P = $X^{2}$ + 2Y²+ 3Z²$\geq$ 2 ( X²+Y²+Z²)  $\geq$ 2 ( XY + YZ + ZX) ( bổ đề 1 ) 

Áp dụng đẳng thức AM - GM , ta có 3 = ab + bc + ca $\geq$  $\sqrt[3]{a}$ $^{2}$ $b^{2}$ $c^{2}$ = 3abc .

Áp dụng bổ đề ( 2 ) ⇒ a + b + c $\geq$ 3 . ⇒ a + b + c $\geq$ 3abc 

Do đó XY + YZ = $\frac{3 (a + b + c + 3 ) }{3abc +3 ( a+b+c ) +12 }$ $\geq$ $\frac{3 ( a +b + c + 3 ) }{4 ( a + b + c + 3 ) }$ = $\frac{3}{4}$ 

⇒ P $\geq$ 2 ·$\frac{3 }{4 }$ = $\frac{3}{2 }$ 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = Y = z ⇔ a = b = c = 1 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $\frac{3}{2}$ ⇔ a=b=c=1 

@ngock9cute 

#hoidap247