Cho a,b,c>0 CMR: $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b} ≥\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$ ( nếu có làm Cô-si thì làm bình thường thôi đừng có Svacxơ (Cauchy-Schwarz) gì đấy mình chưa học đâu)

Ta chứng minh: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

BĐT tương đương: $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge 0$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$(luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{a(b+c)}{4}\ge 2.\sqrt{\dfrac{a^4(b+c)}{4(b+c)}}=\dfrac{2a^2}{2}=a^2$

Chứng minh tương tự ta có:

$\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{b(c+a)}{4}\ge b^2$ và $\dfrac{c^3}{b+a}+\dfrac{c(a+b)}{4}\ge c^2$

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là $P$

Cộng vế theo vế 3 BĐT vừa chứng minh được, ta có:

$P+\dfrac{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\\ \Leftrightarrow P\ge a^2+b^2+c^2-\dfrac{2(ab+bc+ca)}{4}\\ \Leftrightarrow P\ge a^2+b^2+c^2-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge a^2+b^2+c^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Vậy ta được đpcm, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$