Cho A(4;3), B(2;7), C(-3;-8) a. Tính vectơ AB× vectơ AC b. Tìm tạo độ trực tâm H của ∆ABC

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 30.\\
b)\,\,H\left( {13;\,\,0} \right).
\end{array}$

Giải thích các bước giải:

Cho \(A\left( {4;\,\,3} \right),\,\,\,B\left( {2;\,\,7} \right),\,\,C\left( { - 3; - 8} \right)\)

1. a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,\,4} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7;\,\, - 11} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5;\,\, - 15} \right)\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2} \right).\left( { - 7} \right) + 4.\left( { - 11} \right) =  - 30.\)

1. b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của\(\Delta ABC.\)

Gọi \(H\left( {a;\,\,b} \right)\) là trực tâm \(\Delta ABC.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {AC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 4;\,\,b - 3} \right).\left( { - 5; - 15} \right) = 0\\\left( {a - 2;\,\,b - 7} \right)\left( { - 7; - 11} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {a - 4} \right) + 15\left( {b - 3} \right) = 0\\7\left( {a - 2} \right) + 11\left( {b - 7} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 4 + 3b - 9 = 0\\7a - 14 + 11b - 77 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 3b = 13\\7a + 11b = 91\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {13;\,\,0} \right).\end{array}\)