Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
1 câu trả lời
a,
$VT=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$
$=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2$
$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)$
$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$=VP$
b,
$(ac+bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$\Rightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd \le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$
$\Rightarrow a^2d^2-2adbc+b^2c^2\ge 0$
$\Rightarrow (ad-bc)^2\ge 0$ (luôn đúng)
Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
