câu 1: y= x^4+2mx ²+1 tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác vuông cân câu 2: y= x^4 -2mx ² tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích <1

Câu 1

Ta có

$y' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$

Xét ptrinh y' = 0

$4x(x^2 + m) = 0$

Để hso có 3 cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm pbiet, tức là ptrinh $x^2 + m = 0$ phải có 2 nghiệm pbiet khác 0 và do đó $m \neq 0$.

Để ptrinh $x^2 + m = 0$ có 2 nghiệm pbiet thì -m > 0 hay m < 0.

Khi đó, tọa độ 3 điêm cực trị của hso là

$A(0, 1), B(\sqrt{-m}, 1-m^2), C(-\sqrt{-m}, 1 - m^2)$

Ta thấy rằng A nằm trên trục Oy, B và C đối xứng vs nhau qua trục Oy, do đó tam giác ABC cân.

Hơn nữa, tam giác ABC chỉ có thể vuông tại A. Ta có

$\vec{AB} = (\sqrt{-m}, -m^2), \vec{AC} = (-\sqrt{-m}, -m^2)$

Do $AB \perp AC$ nên

$\vec{AB} . \vec{AC} = 0$

$<-> m + m^4 = 0$

$<-> m(m^3 + 1) = 0$

Vậy $m = -1$ hoặc $m = 0$ (loại).

Vậy $m = -1$.

Câu 2.

Ta có

$y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 -m)$

Xét ptrinh $y' = 0$

$4x(x^2-m) = 0$

Để hso có 3 cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó ptrinh $x^2-m = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là m >0.

Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là

$A(0,0), B(\sqrt{m}, -m^2), C(-\sqrt{m}, -m^2)$

Ta có A nằm trên Oy, B và C đối xứng qua Oy, do đó tam giác ABC cân tại A.

Hơn nữa, để ý rằng tung độ của B và C đều nhỏ hơn 0 nên B và C nằm dưới trục Ox.

Ta có

$BC^2 = 4m$. Vậy $BC = 2\sqrt{m}$

Vậy diện tích tam giác ABC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} . BC . d(A, BC) = \dfrac{1}{2} .2\sqrt{m} . |-m^2|$

$= \sqrt{m} . m^2$

Theo đề bài ta có

$m^2 . \sqrt{m} < 1$

$<-> m^{\dfrac{5}{2}}<1$

$<-> m < 1$

Kết hợp ddkien ở trên ta có $0 < m < 1$