câu 1: Một khảo sát lấy ý kiến của 500 sinh viên một trường đại học A về việc trở lại trường học trực tiếp sau ảnh hưởng của dịch Covid 19 thì có 425 sinh viên đồng ý trở lại trường học trực tiếp. Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định giả thiết cho rằng có hơn 80% sinh viên của trường đại học A đồng ý quay lại trường học trực tiếp. Biết rằng φ(0, 45) = 1,65. câu 2: Hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9 và máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa một số sản phẩm trong đó có 1/3 số sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất số còn lại do máy thứ hai sản xuất, người ta lấy ra một sản phẩm để kiểm tra. a) Tính xác suất lấy được phế phẩm. b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra. câu 3: Một công ty dịch vụ thu tiền của khách theo ba cách: 40% khách hàng trả tiền tại nhà cho nhân viên thu tiền của công ty, trong số đó 50% khách hàng trả tiền đúng hẹn. 40% khách hàng trả tiền qua bưu điện, trong số đó 60% khách hàng trả tiền đúng hẹn. 20% khách hàng trả tiền qua ngân hàng, trong số đó 80% khách hàng trả tiền đúng hẹn. a) Một khách hàng trả tiền đúng hẹn. Tính xác suất để đó là khách hàng trả tiền qua bưu điện. b) Chọn ngẫu nhiên 5 khách hàng. Tính xác suất để có ít nhất một người trả tiền đúng hẹn.

Câu 1:

$f = \dfrac{425}{500} = 0,85$

Gọi $p$ là tỉ lệ sinh viên trường đại học $A$ đồng ý học trực tiếp tại trường

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: p \leqslant 0,8\\H_1: p > 0,8\end{cases}$

Giá trị kiểm định:

$Z = \dfrac{0,85 - 0,8}{\sqrt{\dfrac{0,8.(1-0,8)}{500}}} = 2,8$

Ta có:

$\alpha = 0,05 \Rightarrow Z_{\alpha} = \varphi(0,45) = 1,65$

Do $Z > Z_{\alpha}$ nên bác bỏ $H_o,$ chấp nhận $H_1$

Vậy với mức ý nghĩa $5\%,$ có thể cho rằng tỉ lệ sinh viên trường đại học $A$ đồng ý học trực tiếp tại trường lớn hơn $80\%$

Câu 2:

Gọi $A_1;\ A_2$ lần lượt là biến cố sản phẩm được sản xuất từ máy thứ nhất và máy thứ hai

$\Rightarrow \{A_1;A_2\}$ là một hệ đầy đủ

Gọi $B$ là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm

a) Xác suất lấy được phế phẩm:

$P(\overline{B}) = P(A_1).P(\overline{B}/A_1) + P(A_2).P(\overline{B}/A_2)$

$\qquad\ = \dfrac13\cdot (1-0,9) + \left(1-  \dfrac13\right)\cdot (1- 0,85)$

$\qquad\ = \dfrac{2}{15}$

b) Xác suất chính phẩm do máy thứ hai sản xuất

$P(A_2/B) = \dfrac{P(A_2).P(B/A_2)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{\left(1 - \dfrac13\right)\cdot 0,85}{1 - \dfrac{2}{15}}$

$\qquad\qquad = \dfrac{17}{26}$

Câu 3:

Gọi $A_1;A_2;A_3$ lần lượt là biến cố khách hàng trả tiền tại nhà, khách hàng trả tiền qua đường bưu điện và khách hàng trả tiền qua ngân hàng

$\Rightarrow \{A_1;A_2;A_3\}$ là một hệ đầy đủ

Gọi $B$ là biến cố khách hàng trả tiền đúng hẹn

a) Xác suất khách hàng trả tiền đúng hẹn:

$P(B) = P(A_1).P(B/A_1) + P(A_2).P(B/A_2) + P(A_3).P(B/A_3)$

$\qquad\ = 40\%.50\% + 40\%.60\% + 20\%.80\%$

$\qquad\ = 0,6$

Xác suất khách hàng trả tiền đúng hẹn là khách trả qua đường bưu điện:

$P(A_2/B) = \dfrac{P(A_2).P(B/A_2)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{40\%.60\%}{0,6}$

$\qquad\qquad = 0,4$

b) Gọi $X$ là số khách hàng trả tiền đúng hẹn trong `5` khách hàng. $X = 0,1,2,3,4,5$

$\Rightarrow X$ có phân phối nhị thức: $X\sim \mathscr{B}(5;0,6)$

Xác suất không người nào trả tiền đúng hẹn:

$P(X = 0) = C_5^00,6^0(1 - 0,6)^5 = 0,01024$

Xác suất có ít nhất một người trả tiền đúng hẹn:

$P(X\geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,01024 = 0,98976$