Bt hình học 10 (SGK -11) cm: a) điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi vec tơ IA +vecto IB = vecto 0 b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi vec tơ GA +vec tơ GB + vec tơ GC =vec tơ 0

b) Muốn chứng minh một vectơ là vectơ 0, ta có thể chứng minh rằng vectơ ấy nằm trên hai đường thẳng khác nhau.

Gọi A', B', C' là trung điểm các cạnh của tam giác ABC

Trong chứng minh sau, GA, GB, GC chỉ các vectơ.

Ta có

GA + GB + GC = GA + (GA + AB) + (GA + AC) = 3GA + (AB + AC)

G ở trên trung tuyến AA' nên vectơ 3GA nằm trên đường thẳng AA'

GB + GC = (GA' + A'B) + (GA' + A'C)

. . . . . . . .= 2GA' + (A'B + A'C)

A' là trung điểm của cạnh BC nên (A'B + A'C) = 0

Do đó

GB + GC = 2GA'

Vậy (AB + AC) cũng nằm trên đường thẳng AA'.

Suy ra: vectơ 3GA + (AB + AC) hay (GA + GB + GC) phải nằm trên đường thẳng AA'.

Ta có thể chứng minh tương tự rằng (GA + CB + CG) cũng nằm trên đường thẳng BB' (hay CC').

Một vectơ nằm trên hai đường thẳng khác nhau chỉ có thể là một điểm

Vậy GA + GB + GC = 0

a)

Chứng minh I là trung điểm của AB thì $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$?

Cho đoạn AB có I là trung điểm của đoạn AB suy ra IA=IB và tia IA và tia IB là hai tia đối nhau

nên $\vec {IA}$ và $\vec {IB}$ là hai vec tơ đối nhau,

suy ra $\vec{IA}=-\vec{IB}$

$\Rightarrow\vec{IA}+\vec{IB}=\vec0$ (đpcm)

Ngược lại chứng minh nếu $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0$ thì $I$ là trung điểm của AB?

Ta có $\vec{IA}+\vec{IB}=\vec 0\Rightarrow\vec{IA}=-\vec{IB}\Rightarrow\vec {IA}$ và $\vec{IB}$ là hai vec tơ đối nhau nên IA=IB và I nằm giữa A và B

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AB (đpcm).

b)

Chứng minh $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ thì $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$?

Xét $\Delta ABC$ có $AI$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm, $D$ đối xứng với $A$ qua $G$

Tứ giác $BGCD$ có hai đường chéo $BC, GD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $BGCD$ là hình bình hành

$\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)

$\vec{GA}+\vec{GD}=\vec0$ (do D đối xứng với A qua G hay G là trung điểm của AD) (2)

Cộng hai vế của phương trình (1) với $\vec{GA}$, sau đó sử dụng (2)

$\Rightarrow \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0$ (đpcm)

Ngược lại:

Chứng minh nếu $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec 0$ thì $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$?

Xét $\Delta ABC$, vẽ hình bình hành $BGCD$, gọi $BC\cap GD$ tại $I\Rightarrow I$ là trung điểm của hai đường chéo. Hay I là trung điểm của GD, $GD=2GI$ (*)

Ta có: $\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{GD}$ (quy tắc hình bình hành) (1)

Lại có $\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec 0$ (giả thiết) (2)

Thay (1) vào (2) $\Rightarrow\vec{GD}+\vec{GA}=\vec 0\Rightarrow G$ là trung điểm của AD, AG=GD (**)

Từ (*) và (**) $AG=2GI$, G là trung điểm của AD nên G chia AD thành hai đoạn bằng nhau AG, GD, $I\in GD$ nên $I$ không thuộc AG

$\Rightarrow AG=2GI$ thì G nằm giữa AI

$\Rightarrow  AG=\dfrac23AI\Rightarrow G$ là trọng tâm (vì I là trung điểm của BC nên AI là trung tuyến cm ở (*)) (đpcm)