Biện luận phương trình trùng phương

Đáp án + giải thích các bước giải:

Phương trình trùng phương có dạng `ax^4+bx^2+c(a\ne0)(1)`

Đặt `x^2=t>=0`, phương trình trở thành `at^2+bt+c(a\ne0)(2)`

Phương trình `(1)` có `4` nghiệm phân biệt khi phương trình `(2)` có hai nghiệm phân biệt dương

$\to\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}$

Phương trình `(1)` có `3` nghiệm phân biệt khi phương trình `(2)` có một nghiệm dương và một nghiệm bằng `0`

$\to\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P=0\end{cases}$

Phương trình `(1)` có `2` nghiệm phân biệt khi phương trình `(2)` có nghiệm kép dương hoặc hai nghiệm trái dấu

$\to\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}\Delta=0\\x_1=x_2>0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta>0\\\dfrac{S}{2}>0\end{cases}\\P<0\end{array} \right.$

Phương trình `(1)` có `1` nghiệm khi phương trình `(2)` có nghiệm kép bằng `0` hoặc có một nghiệm bằng `0` và nghiệm còn lại âm 

$\to\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}\Delta=0\\x_1=x_2=0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta>0\\S=0\\P=0\end{cases}\\\begin{cases}\Delta>0\\x_1=0\\x_2<0\end{cases}\to\begin{cases}\Delta>0\\S<0\\P=0\end{cases}\end{array} \right.$

Phương trình `(1)` vô nghiệm khi phương trình `(2)` vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm 

$\to\left[ \begin{array}{l}\Delta<0\\\begin{cases}\Delta\le0\\S<0\\P>0\end{cases}\end{array} \right.$