Bài tập 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 18n+3/ 21n+7 có thể rút gọn được.

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Giả sử 18n+3 và 21n+7 cùng rút gọn được cho số nguyên tố p

Suy ra 6(21n+7)-7(18n+3) chia hết cho p hay 21 chia hết cho p

Vậy p thuộc {3,7} Nhưng 21n+7 ko chia hết cho 3 nên suy ra :18n+3 chia hết cho 7

Do đó 18n+3-21 chia hết cho 7 hay 18(n-1) chia hết cho 7 Từ đó  n-1 chia hết cho 7

Vậy n=7k+1(k thuộc N) thì phân số 18n+3/21n+7 có thể rút gọn được

Đáp án:

$\text{N = 1 (thỏa mãn điều kiện)}$

Giải thích các bước giải:

$\dfrac{18n + 3}{21n + 7}$

Gọi k là ước chung nguyên tố của 18n + 3 và 21n + 7

⇒ 18n + 3 $\vdots$ k ⇒ 7 . (18n + 3) $\vdots$ k

⇔ 21n + 7 $\vdots$ k ⇒  6 . (21n + 7) $\vdots$ k

$\text{⇒ 6 . (21n +7) - 7 . (18n + 3) $\vdots$ k}$

$\text{⇒ 21 $\vdots$ k}$

$\text{⇒ k = 3 ⇔ 7}$

$\text{Nếu k = 3 ⇒ 21n + 7 $\vdots$ 3. Điều này không thể xày ra vì:}$

$\text{+) 21n luôn $\vdots$ 3}$

$\text{⇒ 7 : 3 (dư 1) ⇒ 21n + 7 : 3 (dư 1) ⇒ K = 3 (không thể xảy ra)}$

$\text{Nếu k = 7 ⇒ 21n + 7 luôn $\vdots$ 7 với tất cả n}$

$\text{Ta cần tìm n để 18n +3 $\vdots$ 7}$

$\text{⇒ 21n - 3n + 3 $\vdots$ 7 ⇒ 3 - 3n $\vdots$ 7 (T ∈ N)}$

$\text{⇒ 1 - n = $\dfrac{7t}{3}$ ⇒ n = 1 - $\dfrac{7t}{3}$; t ∈ N ⇒ t = 1 ⇔ 0}$

$\text{Vậy giá trị n = 1 (thỏa mãn)}$