Bài 3:Cho 4 điểm A,B,C,D bất kì. a) CM: vectơ DA.vectơ BC+vectơ DB.vectơ CA+vectơ DC.vectơ AB=vectơ 0 b) Từ đó suy ra một cách CM định lí:"Ba đường cao trong tam giác đồng qui" Bài 4: Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD,BE,CF.Chứng minh: vectơ BC.AD+vectơ CA.BE+vectơ AB.CF = 0 Mong mấy bạn giúp đỡ

Bài 3: a)

$\begin{array}{l} \overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DA} (\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} ) + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DC} .(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} ) + \overrightarrow {DB} (\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {DA} )\\ = \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {DC} \\ = \overrightarrow 0 \end{array}$

(đpcm)

b)

Xét tam giác $ABC$

Gọi $BD$ và $CE$ là đường cao của tam giác $ABC$

Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$

Theo chứng minh câu a, ta có phương trình đúng sau, với 4 điểm $A,B,C,H$: 

$\vec{HA}.\vec{BC}+\vec{HB}.\vec{CA}+\vec{DC}.\vec{AB}=\vec 0$

Vì BH ⊥ AC, CH ⊥ AB nên

$\vec{HB}.\vec{CA}=\vec 0$ và $\vec{HC}.\vec{AB}=\vec 0$

Do đó:

$\vec{HA}.\vec{BC}=\vec 0$

Suy ra: AH ⊥ BC

Vậy 3 đường cao đồng quy tại H.

Bài 4:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\\ \overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )\\ \overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} ) \end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l} \vec{BC}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\vec{BC}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\\ \vec{CA}\overrightarrow {BE} = \frac{1}{2}\vec{CA}(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} )\\ \vec{AB}\overrightarrow {CF} = \frac{1}{2}\vec{AB}(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} ) \end{array}$

Cộng vế với vế ta được:

$\vec{BC}.\vec{AD}+\vec{CA}.\vec{BE}+\vec{AB}.\vec{CF}$

$=\dfrac{1}{2}\vec{AB}(\vec{BC}+\vec{CB})+\dfrac{1}{2}\vec{CA}(\vec{BA}+\vec{AB})+\dfrac{1}{2}\vec{BC}(\vec{AC}+\vec{CA})$

$=\vec 0$

(đpcm)