Bài 2.Một người đi từ A đến B. 1/3 quãng đường đầu người đó đi với vận tốc v1 . 2/3 thời gian còn lại đi với vận tốc v2 . Quãng đường cuối cùng đi với vận tốc v3 .Tính vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng đường.

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Gọi độ dài quãng đường là `s` , thời gian đi là `t`

Thời gian người đó đi trên `1/3` quãng đường đầu :

$t_1 = \dfrac{ \dfrac{s}{3}}{v_1} =\dfrac{s}{3v_1}$

Độ dài quãng đường còn lại :

$s-\dfrac{s}{3} = \dfrac{2s}{3}$

Quãng đường cuối cùng người đó đi là `1/3` thời gian còn lại trong quãng đường còn lại

Gọi `1/3` thời gian còn lại là `t_0` , ta có vận tốc trung bình trên quãng đường còn lại là :

`v_4 =(2t_0 v_2 + t_0 v_3)/(3t_0) = (2v_2 + v_3)/3`

Thời gian đi hết `2/3` quãng đường còn lại :

$t_4 = \dfrac{ \dfrac{2s}{3}}{ \dfrac{2v_2+v_3}{3}} = \dfrac{2s}{2v_2 + v_3}$

Vận tốc trung bình trên cả quãng đường :

$v = \dfrac{s}{ t_1 + t_4} = \dfrac{s}{ \dfrac{s}{3v_1} + \dfrac{2s}{2v_2 + v_3}} =\dfrac{6v_1 v_2 + 3v_1 v_3}{2v_2 + v_3 + 6v_1}$.

`2.`

`1/3` quãng đường đầu đi với vận tốc $v_{1}$: `1/3``.s` = $v_{1}$.$t_{1}$

`-``2/3`quãng đường còn lại đi với vận tốc $v_{2}$ và $v_{3}$: `2/3``.s =` $v_{2}$`.`$t_{2}$`+`$v_{3}$`.`$t_{3}$

Mặt khác: `2/3` thời gian trong phần thời gian còn lại (bao gồm $t_{2}$ + $t_{3}$ ) đi với vận tốc $v_{2}$ , nghĩa là: $t_{2}$ `=``(2/3)``.(`$t_{2}$ +$t_{3}$`)` → $t_{3}$ `= 1/2.`$t_{2}$

→ `2/3.s =` $v_{2}$ .$t_{2}$ `+ 1/2`.$v_{3}$ .$t_{2}$ `= `($v_{2}$ `+ 1/2`.$v_{3}$ ).$t_{2}$

- Vận tốc trung bình:

`v = s/t =` $\dfrac{[v_{1}.t_{1} + (v_{2} + \dfrac{1}{2} .v_{3}).t_{2}]}{(t_{1} + t_{2} + t_{3})}$ `=`$\dfrac{[v_{1}.t_{1} + (v_{2} + \dfrac{1}{2} .v_{3}).t_{2}}{(t_{1} +\dfrac{3}{2}.t_{1})}$

- Nhận thấy:

`2/3.s = 2.(1/3.s)` ↔ `(v_{2} + 1/2.v_{3} ).t_{2} =` `2.v_{1} .t_{1} → [v_{1} .t_{1}` ` + (v_{2} + 1/2.v_{3} ).t_{2} ] = 3.v_{1}.t_{1} và: t = (2.v_{1} .t_{1} ) / (v_{2} + 1/2.v_{3} )`

Thay vào vận tốc trung bình, khử t, quy đồng mẫu, cuối cùng ta được:

`v = [3.v1.(v2 + 1/2.v3)] / (3.v1 + v2 + 1/2.v3) hoặc: v = [3.v1.(2.v2 + v3)] / (6.v1 + 2.v2 + v3)`