Bài 1 : cmr 3 ^105 + 4^105 chia hết cho 13 Bài 2 : cmr 2^70 + 3^70 chia hết cho 13 Bài 3 : cmr a) (6^2n) + 1 + (5^n) +2 chia hết cho 31 với n thuộc N* b) (2^2^2n+1) + 3 chia hết cho 7 với n thuộc N Bài 5: Tìm dư trong phép chia: a) (1532^5) - 1 cho 9 b) (5^70) + (7^50) cho 12

Áp dụng tính chất $(a^m+b^m)\vdots (a+b)$ cho bài 1+2+3

Bài 1:

$3^{105}+4^{105}=(3^3)^{35}+(4^3)^{35}\vdots (3^3+4^3)=91\vdots 13$

Bài 2:

$2^{70}+3^{70}=(2^2)^{35}+(3^2)^{35}\vdots (2^2+3^2)=13$

Bài 3: (Bạn sửa lại mấy cái mũ nhé)

$a)6^{2n+1}+5^{n+2}=6^{2n}.6+5^n.5^2=36^n.6+5^n.(31-6)$

$=36^n.6+5^n.31-5^n.6=6.(36^n-5^n)+5^n.31$

Dễ thấy $5^n.31\vdots 31$

Mà $(36^n-5^n)\vdots (36-5)=31$

Suy ra đpcm

$b)2^{2^{2n+1}}+3$

Ta có $2^2\equiv 1(mod3)\Rightarrow 2^{2n}=(2^2)^n\equiv 1^n=1(mod3)$

$\Rightarrow 2^{2n}.2\equiv 2(mod3)\\ \Rightarrow 2^{2n+1}\equiv 2(mod3)$

$\Rightarrow 2^{2n+1}=3k+2$ với $k\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow 2^{2^{2n+1}}=2^{3k+2}=2^{3k}.4$

Lại có $2^3\equiv 1(mod7)\Rightarrow 2^{3k}\equiv 1(mod7)\equiv 2^{3k}.4\equiv 1.4=4(mod7)$

$\Rightarrow 2^{2^{2n+1}}+3=2^{3k+2}+3\equiv 4+3=7\equiv 0(mod7)$

Vậy ta được đpcm

Bài 5:

$a)1532\equiv 2(mod9)\Rightarrow 1532^5\equiv 32\equiv 5(mod9)\\ \Rightarrow 1532^5-1\equiv 5-1=4(mod9)$

Vậy $(1532^5-1):9$ dư $4$

$b)5^2\equiv 1(mod12)\Rightarrow 5^{70}=(5^2)^{35}\equiv 1^{35}=1(mod12)\\ 7^2\equiv 1(mod12)\Rightarrow 7^{50}=(7^2)^{25}\equiv 1^{25}=1(mod12)\\ \Rightarrow 5^{70}+7^{50}\equiv 1+1=2(mod12)$

Vậy $(5^{70}+7^{50}):12$ dư $2$