Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Đáp án:

`1`. Xét tứ giác `CEHD` ta có:

Góc CEH = `90`⁰ (Vì `BE` là đường cao)

Góc CDH = `90`⁰ (Vì `AD` là đường cao)

=> góc `CEH` + góc `CDH` = `180`⁰

Mà góc `CEH` và góc `CDH` là hai góc đối của tứ giác `CEHD`. Do đó `CEHD` là tứ giác nội tiếp

`2`. Theo giả thiết: `BE` là đường cao => `BE` ┴` AC` => góc `BEC` = `90`⁰.

`CF` là đường cao => `CF` ┴ `AB` => góc `BFC` = `90`⁰.

Như vậy` E` và `F` cùng nhìn `BC` dưới một góc `90`⁰. =>E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

`3`. Xét hai tam giác `AEH` và `ADC` ta có: góc `AEH` = góc `ADC` = `90`⁰; góc A là góc chung

`=>` Δ `AEH` ˜ Δ `ADC` =>` AE/AD` = `AH/AC`=> `AE`.`AC` = `AH`.`AD`.

* Xét hai tam giác `BEC` và `ADC` ta có: góc BEC = góc `ADC` = 90⁰; góc `C` là góc chung

`=>` Δ `BEC` ˜ `Δ` `ADC` => `AE/AD` = `BC/AC` => `AD`.`BC` = `BE.``AC.`

`4`. Ta có góc `C_1`  = góc `A_1` (vì cùng phụ với góc ABC)

góc `C_1` = góc `A_1` ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=> góc `C_1` = góc `C_2` => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C

=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

`5.` Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

=> góc `C_1`= góc `E_1` (vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

góc `C_1`= góc `E_2`(vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

góc `E_1` = góc `E_2` =>` EB` là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc `DFE` mà `BE` và `CF` cắt nhau tại `H` do đó `H` là tâm đường tròn nội tiếp tam giác `DEF`.

 `text{@QuânMasTer2}`

`text{#Xin hay nhất ^^}`