áp dụng BĐt 1/a + 1/b >=4/a+b tìm min: M=9/xy + 8/x^2+y^2 với x,y dương và x+y=2

Chứng minh BĐT $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge \dfrac{4}{a+b}(a,b>0)$ (*)

Thật vậy áp dụng BĐT Cộng mẫu ta được :

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge \dfrac{(1+1)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}$

Dấu "$=$" xảy ra khi : $a=b$

Trở lại bài :

Biến đổi $M$ ta được :

$M=\dfrac{5}{xy} + \dfrac{8}{2xy} + \dfrac{8}{x^2+y^2}\\=\dfrac{5}{xy} + 8 (\dfrac{1}{2xy} + \dfrac{1}{x^2+y^2})$

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương $x,y$ ta được :

$x+y\ge 2\sqrt{xy}\\\to (x+y)^2\ge 4xy\\\to xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}=1\\\to\dfrac{5}{xy}\ge 5$

Áp dụng BĐT (*) ta được :

$\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}=1\\\to 8 (\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2})\ge 8\\\to M\ge 5+8=13$

Dấu "$=$" xảy ra khi : $x=y=1$

Vậy $M_{min}=13$ khi $x=y=1$