add giúp e vs ạ :tìm gtln ,gtnn của các hàm số sau: a)y=6cos*2x+cos*2*2x ,b)y=(4sinx -3cos)*2 -4(4sinx-3cosx)+1 c)y= sinx + 2cosx +1/sinx +cosx +2
1 câu trả lời
Đáp án:
a) GTLN $y=7$, GTNN $y=1$
b) GTLN $y=46$, GTNN $y=-1$
c) GTLN $y=1$, GTNN $y=-1$
Giải thích các bước giải:
a) $y=6\cos ²x+\cos ²2x$
$=6\cos ²x+(2\cos²x-1) ²$
$=6\cos ²x+4\cos^4x+1-4.\cos ²x$
$=2\cos ²x+4\cos^4x+1$
$=\left({2\cos ²x+\dfrac12}\right) ²+\dfrac34$
Ta có:
$2\cos ²x≥0 ∀x$
$⇒ \left({2\cos ²x+\dfrac12}\right) ² ≥\dfrac14 ∀x$
$⇒\left({2\cos ²x+\dfrac12}\right) ²+\dfrac34≥\dfrac34+\dfrac14=1$
⇒ GTNN của y là 1 đạt được khi $\cos x=0 ⇔x= \dfrac{\pi }2+k\pi$
Do $-1\le\cos x\le1\Rightarrow \left({2\cos ²x+\dfrac12}\right) ²+\dfrac34$ đạt lớn nhất khi $\cos x=1$
$\Rightarrow$ GTLN $y=\left({2.1^2+\dfrac12}\right) ²+\dfrac34=7$ khi $\cos x=1$
b) $y=(4\sin x -3\cos x)² -4(4\sin x-3\cos x)+1 =(4\sin x -3\cos x-2) ²-3$
Đặt $4\sin x -3\cos x-2=t$
$⇔4\sin x -3\cos x=t+2$
Điều kiện để có nghiệm là:
$16+9 ≥(t+2) ² ⇔(t+2) ² ≤25 ⇒-5 ≤t+2 ≤5$
$⇔-7 ≤t ≤3 ⇒0 ≤t ² ≤49 $
$⇔0≤(4\sin x -3\cos x-2) ² ≤49$
$⇔-3≤(4\sin x -3\cos x-2) ²-3 ≤46$
⇒ GTNN $y=-3$; GTLN $y=46$
c) $y=\dfrac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$
$\Rightarrow y(\sin x+\cos x+2)=\sin x+2\cos x+1$
$\Leftrightarrow(y-1)\sin x+(y-2)\cos x=1-2y$
$\Rightarrow (y-1)^2+(y-2)^2\ge(1-2y)^2$
$\Leftrightarrow 2y^2+2y-4\le0$
$\Leftrightarrow -2\le y\le1$
Vậy GTLN$y=1$ và GTNN$y=-2$.