`a,` Chứng minh rằng với mọi `x` ta có `\sqrt{x^2+1}>=(x+3)/\sqrt{10}` `b,` Cho `a,b,c` thỏa mãn `a+b+c=1`. Chứng minh `\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}>=\sqrt{10}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$(1^2+3^2)(x^2+1^2) \geq (x+3)^2$

$⇒10(x^2+1) \geq (x+3)^2$

$⇒x^2+1 \geq \dfrac{(x+3)^2}{10}$

$⇒\sqrt{x^2+1} \geq \dfrac{x+3}{\sqrt{10}}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=\dfrac{1}{3}$

b.

Áp dụng câu a ta có:

$\sqrt{a^2+1} \geq \dfrac{a+3}{\sqrt{10}}$

$\sqrt{b^2+1} \geq \dfrac{b+3}{\sqrt{10}}$

$\sqrt{c^2+1} \geq \dfrac{c+3}{\sqrt{10}}$

Cộng vế với vế:

$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1} \geq \dfrac{a+b+c+9}{\sqrt{10}}=\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$