a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh 16-ab+16-bc+16-ca≤35
1 câu trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
3=a+b+c≥33√abc⇒abc≤1⇒1−abc≥0 (1)
Theo BĐT Schur bậc 3:
(a+b+c)3+9abc≥4(a+b+c)(ab+bc+ca)⇔9+3abc≥4(ab+bc+ca)
⇔9+3abc−4(ab+bc+ca)≥0 (2)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
(6−ab)(6−ac)+(6−ab)(6−bc)+(6−bc)(6−ac)(6−ab)(6−ac)(6−bc)≤35
⇔108+abc(a+b+c)−12(ab+bc+ca)216+6abc(a+b+c)−36(ab+bc+ca)−a2b2c2≤35
⇔108+3abc−12(ab+bc+ca)216+18abc−36(ab+bc+ca)−a2b2c2≤35
⇔3(216+18abc−36(ab+bc+ca)−a2b2c2)≥5(108+3abc−12(ab+bc+ca))
⇔36−16(ab+bc+ca)+13abc−a2b2c2≥0
⇔4[9+3abc−4(ab+bc+ca)]+abc(1−abc)≥0 (đúng theo (1) và (2))
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 hoặc (a;b;c)=(0;32;32) và các hoán vị
Ai muốn copy/mượn ý tưởng gì thì nhanh chân lên đi
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
