a,b,c không âm thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh `1/(6-ab)+1/(6-bc)+1/(6-ca)<=3/5`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $3=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} ⇒abc \leq 1⇒1-abc \geq 0$ (1)

Theo BĐT Schur bậc 3:

$(a+b+c)^3+9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca) ⇔9+3abc \geq 4(ab+bc+ca)$

$⇔9+3abc-4(ab+bc+ca) \geq 0$ (2)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

$\dfrac{(6-ab)(6-ac)+(6-ab)(6-bc)+(6-bc)(6-ac)}{(6-ab)(6-ac)(6-bc)} \leq \dfrac{3}{5}$

$⇔\dfrac{108+abc(a+b+c)-12(ab+bc+ca)}{216+6abc(a+b+c)-36(ab+bc+ca)-a^2b^2c^2} \leq \dfrac{3}{5}$

$⇔\dfrac{108+3abc-12(ab+bc+ca)}{216+18abc-36(ab+bc+ca)-a^2b^2c^2} \leq \dfrac{3}{5}$

$⇔3(216+18abc-36(ab+bc+ca)-a^2b^2c^2) \geq 5(108+3abc-12(ab+bc+ca))$

$⇔36-16(ab+bc+ca)+13abc-a^2b^2c^2 \geq 0$

$⇔4[9+3abc-4(ab+bc+ca)]+abc(1-abc) \geq 0$ (đúng theo (1) và (2))

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$ hoặc $(a;b;c)=\left(0;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2} \right)$ và các hoán vị

Ai muốn copy/mượn ý tưởng gì thì nhanh chân lên đi