A(0;2;-2) B(2;2;-4). I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB .Tìm I

Đáp án:

$I(2;0;-2)$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\overrightarrow{OA} = (0;2;-2) \Rightarrow OA = 2\sqrt2$

$\overrightarrow{OB} = (2;2;-4) \Rightarrow OB = 2\sqrt6$

$\overrightarrow{AB} = (2;0;-2) \Rightarrow AB = 2\sqrt2$

$\Rightarrow \triangle OAB$ cân tại $A$

Gọi $M$ là trung điểm $OB$

$\Rightarrow M(1;1;-2)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AM} =(1;-1;0)\\AM\perp OB\end{cases}$

Phương trình đường trung trực của $OB:$

$AM:\begin{cases}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = -2\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$

Gọi $N$ là trung điểm $OA$

$\Rightarrow N(0;1;-1)$

Gọi $(P)$ là mặt phẳng trung trực của $OA$

$\Rightarrow (P)$ nhận $\overrightarrow{OA} = (0;2;-2)$ làm $VTPT$

$\Rightarrow (P): 2(y-1) - 2(z + 1) =0$

$\Rightarrow (P): y - z - 2 =0$

Tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle OAB$ là giao điểm giữa $AM$ và $(P)$

Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}x = 1 + t\\y = 1 - t\\z = -2\\y - z  -2 =0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x =2\\y = 0\\z = -2\\t = 1\end{cases}$

Vậy $I(2;0;-2)$