2. Một xạ thủ cầm 5 viên đạn đi bắn, xác suất bắn trúng vòng mười của anh ta là 0,8. Nếu bắn được ba viên liên tiếp trúng vòng mười hoặc hết đạn thì thôi không bắn nữa. Gọi X là số đạn còn thừa.

a) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

b) Xác định hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.

c) Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X.

a) Gọi $X$ là số đạn còn thừa. $X = 0,1,2$

$\bullet\ \ P(X = 2) = 0,8^3 = 0,512$

$\bullet\ \ P(X = 1) = 0,2.0,8^3 = 0,1024$

$\bullet\ \ P(X = 0) = 1 - P(X = 1) - P(X = 2) = 0,3856$

Bảng phân phối xác suất:

$\begin{array}{c|ccc}X&0&1&2\\\hline P(X)&0,3856&0,1024&0,512\end{array}$

b) Hàm phân phối xác suất:

$F(x) = \begin{cases}0\qquad\qquad khi\quad x\leqslant 0\\0,3856\quad\ \ khi\quad 0 < x \leqslant 1\\0,488\qquad khi\quad 1 < x \leqslant 2\\1\qquad\qquad khi\quad x > 2\end{cases}$

c) Kỳ vọng toán:

$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^2X_iP_i = 0\cdot 0,3856 +1\cdot  0,1024 + 2\cdot 0,512 = 1,1264$

Phương sai:

$\bullet\ \ E(X^2) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^2X_i^2P_i = 0^2\cdot 0,3856 +1^2\cdot  0,1024 + 2^2\cdot 0,512 =2,1504$

$\bullet\ \ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2,1504 - 1,1264^2 = 0,88162304$