1) Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $x^{2} - x + m < 0$ vô nghiệm? 2) Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $x + 25m^{2} \geq 5mx + 1$ có nghiệm?

1) BPT đã cho vô nghiệm \( \Leftrightarrow \) bpt \({x^2} - x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow \Delta  = 1 - 4m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{1}{4}\)

2) \(x + 25{m^2} \ge 5mx + 1 \Leftrightarrow \left( {5m - 1} \right)x \le 25{m^2} - 1 \Leftrightarrow \left( {5m - 1} \right)x \le \left( {5m - 1} \right)\left( {5m + 1} \right)\)

Nếu \(m = \frac{1}{5}\) thì \(0 = 0\) (đúng) nên bpt có vô số nghiệm.

Nếu \(m \ne \frac{1}{5}\) thì bpt luôn có nghiệm.

Vậy với mọi m thì bpt luôn có nghiệm.