1) giải phương trình: a) cos2x-sinx=căn 3.(sin2x-cosx) b) cos bình x + cos bình 2x + cos bình 3x + cos bình 4x = 2 2) tìm m để phương trình cos 2x - (2m - 1)cos x - 2m = 0 có nghiệm 3) tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (1 + cosx )/(sinx + cosx - 2)
1 câu trả lời
\(\begin{array}{l} 1)\,\,\cos 2x - \sin x = \sqrt 3 \left( {\sin 2x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x = \sqrt 3 \left( {2\sin x\cos x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)\left( {1 - 2\sin x} \right) = \sqrt 3 \cos x\left( {2\sin x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + 1 + \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\sin x = 1\\ \sin x + \sqrt 3 \cos x = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \dfrac{1}{2}\\ \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{1}{2} \end{array} \right..\\ 2)\,\,\,\cos 2x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 - \left( {2m - 1} \right)\cos x - 2m = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \left( {2m - 1} \right)\cos x - 2m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 2m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \cos x = \dfrac{{2m + 1}}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \text{ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của }m.\\ 3)\,\,y = \dfrac{{1 + \cos x}}{{\sin x + \cos x - 2}}\\ \Leftrightarrow y\sin x + y\cos x - 2y = 1 + \cos x\\ \Leftrightarrow y\sin x + \left( {y - 1} \right)\cos x = 2y + 1\\ \Rightarrow \text{ phương trình có nghiệm}\\ \Leftrightarrow {y^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge {\left( {2y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y + 1 \ge 4{y^2} - 4y + 1\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le y \le 1\\ \Rightarrow Min\,y = 0;\,\,\,Max\,y = 1. \end{array}\)
1) b)
$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$
$\Leftrightarrow \dfrac{1+\cos 2x}{2}+\dfrac{1+\cos 4x}{2}+\dfrac{1+\cos 6x}{2}+\dfrac{1+\cos 8x}{2}=2$
$\Leftrightarrow \cos2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0$
$\Leftrightarrow 2\cos5x\cos3x+2\cos5x\cos x=0$
$\Leftrightarrow 2\cos5x(cos3x+\cos x)=0$
$\Leftrightarrow 2\cos5x.2\cos2x\cos x=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}\cos x=0\\cos2x=0\\cos5x=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=\dfrac{\pi}2+k\pi\\2x=\dfrac{\pi}2+k\pi\\5x=\dfrac{\pi}2+k\pi\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}x=\dfrac{\pi}2+k\pi\\x=\dfrac{\pi}4+k\dfrac{\pi}2\\x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}5\end{array}\right.$ $(k\in\mathbb Z)$
Vậy phương trình có nghiệm $\left\{\begin{array}{I}x=\dfrac{\pi}2+k\pi\\x=\dfrac{\pi}4+k\dfrac{\pi}2\\x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}5\end{array}\right.$ $(k\in\mathbb Z)$.