1,Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}+b^2+c^2+abc=4$ . CMR $ab+bc+ca-abc$ $\leq2$ 2,Tìm số dư của khi chia A=2021^6+2022^6+2023^6 cho 13

1,

Xét 3 cặp số $a-1,b-1,c-1$

Theo nguyên lí Đi-rích-lê thì ta sẽ có ít nhất 2 trong 3 cặp số cùng chiều dấu

Không mất tính tổng quát giả sử $a-1,b-1>=0$

$=>(a-1)(b-1)>=0$ mà $c>=0$

$=>c(a-1)(b-1)>=0$

$=> (ac-c)(b-1)>=0$

$=>abc - ac-bc+c>=0$

$=>abc>= ac+bc-c$

$=> -abc=< -(ac+bc-c)$

Áp dụng BĐT Cô-si có:

$a^2+b^2>= 2\sqrt{a^2 . b^2}=2ab$

$=> a^2+b^2+c^2+abc>= 2ab+c^2+abc$

$=> 4>= 2ab+abc+c^2$

$=>2ab+abc=< 4-c^2$

$=>ab(2+c)=<(2+c)(2-c)$

$=>ab=< 2-c$

Đặt $A=ab+bc+ca-abc$

$=< 2-c + bc+ac-ac-bc+c$

$=< 2$

Dấu "$=$" xảy ra khi: $a=b=c,a^2+b^2+c^2+abc=4<=>a=b=c=1$

2,

$2021^3≡2(mod 13)$

$=>2021^6≡4(mod 13)$

$2022^3≡5(mod 13)$

$=>2022^6≡12(mod 13)$

$2023^3≡5(mod 13)$

$=>2023^6≡12(mod 13)$

$=>A≡2(mod 13)$

$=>A$ chia $13$ dư $2$